常微分方程王高雄pdf 常微分方程课程教学改革初探

赵侯宇

摘 要：常微分方程是数学剖析、高级代数的后继课程，对培育学生进一步学习和研讨的才干具有不行代替的效果。文章从常微分方程的特色及其他教育中存在的问题动身，从更新教育内容、改善教育办法和运用多样化的教育手法等方面，提出了改善常微分方程课程教育的主张。

要害词：常微分方程；教育革新

中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2014）11-0022-02

常微分方程是根底数学的一个重要组成部分，常微分方程在整个数学大厦中占有偏重要方位。天然科学（物理、化学、生物及地舆）中的许多一般规则，用常微分方程的言语来表达最为天然。因而，常微分方程是探求实际问题的重要东西。但是该课程在现在的教育中还存在一些问题：（1）本课程包括一些冗长烦琐的核算公式和定理推导，而教育课时数遍及较少，因而在运用传统教育办法和手法授课时，使得有些内容不能深入细致地解说，导致教育效果欠安。（2）受传统教育形式的影响，疏忽了教育进程中师生的沟通和学习效果的检验，使学生堕入思维的慵懒中，约束了学生的批判性、创造性思维才干。因而，怎样革新传统的教育形式，用新的思路去改善现有教育办法，以培育学生的立异才干，对作为根底课程的常微分方程显得尤为重要。本文从教育内容、教育办法和教育手法等方面评论常微分方程课程的教育革新。

一、更新教育内容

（一）合理选配教科书和参考书

关于常微分方程的教材有许多，怎样合理地选配教科书和参考书是搞好教育革新的要害一环。事实上，给学生指定一些参考书，让他们在课余时刻对照讲堂上教师教育的内容进行学习，有助于学生进一步加深对常微分方程这门课程的了解，然后让他们从单纯的讲堂中走出来。关于不同层次的学生，因为培育方针和教育计划的差异而有所区别，因而应依据学生详细状况的不同选取教材。

关于根底较好的学生，可挑选理论内容较为丰厚的教材[1-2]。关于此类学生，他们不光要把握一些根本的核算办法和推导公式，如一阶微分方程的初等解法、高阶微分方程的求解公式及线性微分方程组的求解公式等，还要知道这些公式、办法的详细来历，推导进程。这就需求教师在教授进程中重视这些公式、原理的理论剖析与证明，因而对教材的选取，应以理论偏重为主。关于特别优异的学生，可直接选用国外原版教材[3]，让学生在学习之余进步阅览外文文献的才干。关于根底一般的学生来说，偏重于使之把握相关公式的运用，关于相关理论的含义，只需了解其内容并能娴熟运用即可。在教育上应偏重使学生体会公式的推导原理和办法，娴熟把握公式的详细运用，淡化理论证明为主。因而，可选用理论与核算兼而有之，偏重于核算为主的教材[4]。

（二）精心选取教育内容

像常微分方程这样的根底课，其教育内容比较经典老练，但仍应该依据科学和社会开展的需求，用现代数学的思维、观念为教导，从头审视教育内容，与时俱进地新陈代谢，参加一些最新的前沿性常识。例如，近几十年来动力体系及其非线性科学得到了迅猛开展，极大地促进了力学、物理、生物、地舆等范畴的开展，假如能将这方面的新理论新办法同常微分方程中的一些常识结合起来进行教育，将会起到很好的效果。

关于详细的教育内容还应在选定教材后，依据学时等的组织合理挑选教育内容。当学时较少时，可恰当删减一些杂乱且将来会跟着进修而进一步学习的内容，如文献[1]中的第六章非线性微分方程中的第五、第六节，以及第七章一阶线性偏微分方程。在学时较富余的状况下，可添加一些当今微分方程中的热点问题。例如，加强Picard迫临法及解的存在唯一性证明，将它们同运用等价积分方程树立迭代推导联系同后边动力体系思维联系起来，不光给出了存在唯一性的相关证明，更对当今动力体系中的一些思维和观念给出必定的介绍和阐释[5]。这样，不光能够让学生学到的常识具有前瞻性，并且还能够协助他们开阔思维，拓宽视界，培育爱好，添加学习活跃性。

二、改善教育办法

（一）传统教育法与现代教育法相结合

教育办法一般是指与必定教育方针和使命相关的详细操作程序，是完结教育使命所运用的办法。咱们能够把现行的教育办法大体分为传统教法和现代教法。站在局势开展需求的视点看，传统教法有其坏处：教师的首要精力在于教育教材，学生的学习是被迫的、消沉的。但是它毕竟是在人类社会开展的前史中流传下来的，到现在仍有它合理性的一面，有的仍是教师教育中不行短少的办法，所以不能一概否定。新办法的呈现，是跟着社会开展的需求、社会的革新发生的，是活跃的，它与传统教法的动身点不同，是从灌注常识为主转变到启示学习为主。在教育观念上倡议习惯个别差异、对症下药，着重把教育的重心从怎样“教”转到怎样“学”上。若能结合这两种办法，在教育实践的运用中做全面的、客观的剖析，深入研讨，总结效果，会大大进步教育效果。

在常微分方程课程的教育中，有许多公式定理需求推导。若教师仅仅灌注式地教育，学生仅仅被迫地承受，将会逐步失掉对这门课程的爱好和活跃性。因而，在教育课程的一起，可将启示式、对话式教育引进讲堂。例如，在讲完一阶微分方程的初等解法后，咱们能够引导学生自己考虑几种常见的一阶微分方程的类型之间的联系，然后引出微分方程中的“化归思维”。在教育进程中将教育式与启示式教育结合起来，不光能添加学生的学习爱好，让他们在教师的引导和自己的自动思考中拓宽思维空间和常识结构，更能让他们较为全面地把握体系的理论常识。

（二）重视查核方法的多元化

恰当、正确的查核方法能够及时反映教师的教育效果，因而，拟定恰当的查核方法是了解学生对所学常识把握状况的有用手法之一。对此，咱们将查核分红三个部分：学习态度查核、随机面试查核、期末考试[6]。

学习态度查核是由教师和课代表平常详细记载每一个学生的出勤、上课体现、作业完结状况等方面，学期末由课代表和主讲教师一起鉴定成果。随机面试查核则是由教师事前预备一系列的问题，在讲堂或课后由学生随机抽取一道标题作答。这种方法能够引导学生重视常微分方程的根本概念和重要思维，使教师能直接把握学生对常识细节的了解度以及学生的思维才干和概括运用常识的才干。期末考试以闭卷的方法进行，其内容包括本课程的首要理论常识，应杰出考察学生对常识的了解程度和运用才干。在试题的选定进程中，应以考察学生对根本概念、根本理论的了解度以及对常识的概括运费用为根本原则。经过这三方面的查核，不光使教师较全面地把握学生对所学常识的把握程度，也能增进学生与教师之间的学习和沟通。

三、运用多样化的教育手法

（一）引进多媒体教育

运用多媒体教育是一种新式的教育形式，需求在教育进程中不断总结与沟通，尽力将传统教育形式的利益和现代教育形式的利益有机地结合起来。实践证明：两者结合得好坏是新式教育形式胜败的要害，传统教育形式讲得好的教师往往运用现代教育形式也愈加成功，原因在于坚持了传统教育形式的优势[7]。跟着核算机技术的开展，多媒体教育具有传统教育形式无法替代的优势。

图文并茂，从直观上展现公式、定理的含义，并激起学生学习微分方程的爱好。多媒体教育运用图画和图形的结合，能够给学生更多感官上的影响。变笼统的定理内容为详细，这就使学生更简单了解和把握教育内容。节约讲堂时刻，进步教育功率。常微分方程课程触及很多杂乱烦琐的公式核算和定理的推导，假如只运用黑板加粉笔的传统教育形式，将在板书上花费过多的时刻和精力。若能合理地运用多媒体教育，把需求的教育内容制作成简练、生动的课件，并直接在讲堂上播映，便能大大削减教师花在板书上的时刻，使教育内容变得紧凑而有条理。

（二） 充分运用网络资源

因为讲堂教育在时刻上的约束，学生无法彻底把握在讲堂上所学的常识。对此，一方面教师能够运用课余时刻对学生的课程进行教导和解说。在答疑进程中，要留意引导学生对所学内容进行概括总结，进一步整理重、难点，提炼出自己的主意和观念，这样才干较好地发挥答疑的效果。另一方面还可充分运用网络资源。如将课件上传到校园网上供学生自学；经过QQ或电子邮件等网络东西，这便打破了学生在学习时刻上的约束，真实完成了教育相长，一起调动了学生学习的活跃性，弥补了讲堂教育的缺乏，进而进步教育质量。

在教育中应依据课时等要素合理组织教育内容，留意避简就难，杰出处理要点、难点。授课时不拘泥于教材内容的排序，重视对各常识点进行重组和精粹。重视评论式教育、启示式教育。充分运用网络资源，引导学生进行自主式、探求式学习。针对学生平常的查核，了解学生对所学常识的把握状况，进而不断改善和进步教育办法和教育手法，认真总结教育经历，然后逐步进步该课程的教育质量和教育水平。

参考文献：

[1]王高雄等.常微分方程[M].北京：高级教育出版社，

2006：120-129.

[2]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高级教育出

版社，2004：76-88.

[3]V.I.Arnold，Ordinary Differential Equations[M].

Cambridge：MIT press，1973：80-93.

[4]焦宝聪，王在洪，时红廷.常微分方程[M].北京：清华大

学出版社，2008：69-79.

[5]张伟年.本科数学专业常微分方程教育革新与实践[J].

高级理科教育，2003，（1）.

[6]刘会民，那文忠，陶凤梅.“常微分方程”课程教育形式的

革新与探求[J].数学教育学报，2006，（15）.

[7]黄廷祝等.深化教育革新 加强“基地建造”[J].大学数

学，2003，（19）.