不定积分24个根本公式 一类不定积分问题的一题多解

摘 要： 咱们从一题多解的视点对有理函数和可化成有理函数的不定积分的解题办法做必定讨论。

关键词：不定积分 有理函数 一题多解

不定积分是高级数学课程中的一个重要知识点，但由于其标题广泛，无固定规则，核算办法又灵敏多变，所以学生对此类问题的核算往往感觉困难，不知怎么下手。为此本文企图从一题多解的视点考虑一类不定积分问题的核算，开辟学生思路，使其更好地了解把握不定积分的各种积分办法。

例1 核算 。

解法1 凑微分法（也叫第一类换元积分法）

原式

解法2第二类换元积分法

令

原式

解法3 倒代换

令 ， 则 ， 原式

解法4用待定系數法把有理函数化成部分分式之和，分项积分求出成果

使用待定系数法有理函数得，

例2 核算

解法1 凑微分法

解法2 第二类换元积分法

令 ， 则

当 时，

当 时，

综上所述，

解法3 根式代换

令 ，则 ，

例3 核算

解法1 全能代换

令

解法2 拆项积分和凑微分法相结合

注：比较上述两种解法，使用全能代换尽管适用于三角函数有理式积分的各种情况，但往往比较费事；要使办法简略，有必要把握较高技巧.一般的，若求 ，可将分子化成

[1]同济大学数学系.高级数学：上：第七版[M].北京：高级教育出版社，2007：194—208.

[2]华东师范大学数学系编. 数学分析[M]. 高级教育出版社，2001.

[3]陈纪修等编. 数学分析.2版. 高级教育出版社，2004.

作者简介

贾文燕，硕士，数学与使用数学专业，助教