立体几何解题思路 立体几何最值问题的解题思路

程少辉

摘 要：立体几何试题是高考出题的必考点，本文结合多点教育经历，具体介绍了几种常用的处理立体几何最值问题的解题思路，为高考的温习规划抛砖引玉，翻开思路。

关键词：高考试题 立体几何 最值 解题

处理立体几何试题需求有必定的空间想象力，将逻辑推理与运算相结合，才干较好地处理此类标题。近年来，高考出题在规划和立意上开端对立体几何试题进行立异，其间立体几何求最值的题型较多，需求要点重视一下该类题型的解题思路。下面针对高考题中该类型的一些标题进行扼要的剖析。

一、搬运

例1 如图1，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，若点P在线段D1E上，则点P到直线CC1的间隔的最小值为_____。

剖析 过点P作与直线CC1笔直且相交于点H的直线，则线段PH的长度就是点P到直线CC1的间隔，但线段PH的长度的最小值不易求得。假如设点P在平面ABCD上的射影为P′，则PP′//CC1，易知PH=CP′，然后点P到直线CC1的间隔的最小值就等于CP′的长度的最小值。这种使用平行线搬运的办法在求点到直线的间隔或点到平面的间隔时经常用到。[1]

解 设点P在平面ABCD上的射影为P′，明显点P到直线CC1的间隔的最小值为P′C的长度的最小值。留意到点P′是DE上的动点，易知：当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此刻P′C==，所以点P到直线CC1的间隔的最小值为。

二、对称

例2 如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面BCC1B1上一动点，则AP+PD1的最小值为_____。

剖析 联想到平面几何中的相应问题，可作点A关于平面BCC1B1的对称点，然后经过对称改换将线段AP持平地搬运到线段MP。

解 延伸AB到M，使BM=AB，衔接AP，D1P，MP，则AP+PD1=MP+PD1≥MD1=，当且仅当D1、P、M三点共线时取“=”，所以AP+PD1的最小值为。

点评 例2是一个动点的最小值问题，而例2是两个动点的最小值问题，对称改换是处理这类问题的重要手法。[2]

三、旋转

例3 已知两平行平面a、b之间的间隔为，S∈平面a，M∈平面a，P∈平面b，N∈平面b，SP=，MN=2，求异面直线SP与MN所成角的最大值和最小值。

解 如图3，设S在平面b上的射影为O，过S作SE//MN，交平面b于E，然后∠PSE或它的补角就是异面直线SP与MN所成的角。

易证SE=MN=2，然后OE=1。

将Rt△SOE以SO为轴旋转，则点E的轨道是平面b内以O为圆心的圆，设直线PO交圆O于A、B。

在Rt△SPO中，由SP=，SO=得∠PSO=45°。

在Rt△SOA和Rt△SOB中，由SO=，SA=SB=2得∠ASO=∠BSO=30°。

由于PA≤PE≤PB，所以15°=∠PSA≤∠PSE≤∠PSB=75°，所以异面直线SP与MN所成角的最大值和最小值分别为75°，15°。

点评 将Rt△SOE以SO为轴旋转，调查旋转过程中∠PSE巨细的改变，就能从直观上找到∠PSE的最大值和最小值；

四、翻折

将多面体的两个面中的一个面沿着它们的公共边翻折，使这两个面共面，然后使坐落这两个平面内的几条线段坐落同一平面内，这样就将空间问题转化为平面几何问题，多个面的景象也可相似处理，这就是降维的思想。

例4 如图4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是_____。

解 衔接A1B，沿BC1将△CBC1打开到与△A1BC1在同一个平面内，如图5所示，衔接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。易知∠A1C1B=90°，又∠BC1C=45°，所以∠AC1C=135°，由余弦定理可求得A1C=5。所以CP+PA1的最小值是5。

五、展開

圆柱和圆锥旁边面（或外表）上曲线段长度的最小值问题，咱们一般经过作它们的旁边面（或外表）打开图，再使用两点之间线段最短加以处理，这是化曲为直的思想。

例5 圆锥的母线长为4，底面半径为，若在圆锥的旁边面绕一圈丝线作装修：从底面上的点A动身，沿圆锥旁边面绕一周回到点A，则这条丝线的最短长度是____。

解 圆锥的旁边面打开图如图6所示，衔接AA1，则AA1即为丝线的最短长度，过点O作OC⊥AA1于C，由弧长公式可求得∠AOA1=120°，∠OAC=30°。由于OA=4，所以AC=2，AA1=4。所以这条丝线的最短长度是4。

结语

综上所述，以上所举例题均为高考题中的经典出题事例，值得考生深入研究剖析，经过了解学习，进一步把握立体几何最值问题的解题思路，然后对此类考题有必定的解题思想形式，愈加从容应对此类型标题。

参考文献

[1]李巍.立体几何立异题型及解题战略[J].科技致富导游.2013（12）

[2]许卫华.高中数学立体几何教育战略剖析[J].数理化学习.2014（03）