函数单调性 函数单调性的教学方法探求与反思

李一帆

摘 要：函数的单调性是函数的重要性质，其断定办法在也是数学中适当重要的一个知识点，可经过数形结合来完成，但关于高职院校的学生来说，怎么让其有用把握高等数学中的单调性判别法，为函数单调性挑选更为简略的断定办法是本文探求的要点。

关键词：单调性 判别法 教育办法 反思

一、导言

函数的单调性是函数的重要性质，在初等数学中，咱们现已学习过经过作差法判别函数的单调性，但关于某些杂乱函数或特别函数，作差法并不能完成单调性的判别，因而在高等数学中，咱们引入了使用导数断定函数的单调性，可是怎么能让学生更简略把握导数办法判别呢？这是值得探求和反思的。

二、單调性判别法的教育办法探求

（一）作差法的优势和坏处

设函数的界说域为，，任取，且，恒有，则称函数在内单调添加；假如任取，且，恒有，则称函数在内单调削减。单调添加函数和单调削减函数统称为单调函数。

在初等数学阶段，咱们对函数的单调性的判别办法为界说判别法，即“作差法”，简略函数或一般函数可简略由其判别出来。（由图1所示）

图1

可是，在实践教育和使用中，咱们“作差法”存在一些优势，但一起也存在一些坏处。

作差法优势：简略把握；坏处：杂乱函数或特别函数无法判别出单调性。

例1判别函数在其界说域上的单调性。

解 由于的界说域为，则

任取且，作差得

依据假定，简略得出，因而断定在其界说域上单调添加。

例2 函数是否简略使用“作差法”判别其单调性？

解 由于的界说域为，则

任取且，作差得

但在上式中的正负无法断定，因而“作差法”无法断定其单调性。高等数学中，导数判别法判别函数的单调性有用的处理了这一问题。

（二）使用导数断定函数的单调性优势、坏处及授课反思

1.导数断定函数的单调性优势、坏处

定理 设函数在上接连.在内可导.

（1）假如在内，则函数在上单调添加；

（2）假如在内，则函数在上单调削减。

导数判别法断定函数单调性的优势在于它能够判别杂乱函数乃至一些相对笼统的函数简略断定其单调性。可是其坏处在于关于数学根底相对单薄的职业院校学生来说不易把握。

2.导数断定函数的单调性的授课反思

那么作为职业院校的教师应该怎么教育让学生更简略了解呢？我以为，在实践教育中，可从两方面教育，以便学生视自己学习状况看哪种办法更易了解。

（1）使用拉格朗日中值定理了解断定定理

设是内恣意两点，且，在上运用拉格朗日中值定理得：

假如，则。由于，所以有，

因而在上单调添加。

同理可证，在上单调削减。

（2）使用导数的几许含义了解断定定理

咱们知道，导数的几许含义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。即

关于添加性不同的函数，它们每一点处切线斜率，或者说导数有什么特色吗？咱们经过下图来调查一下。

图2

在图2-（1）中，是单调添加的，切线与夹角均为锐角，而锐角的正切值都是正值，由导数的几许含义可知，此刻，因而断定是单调添加的条件为内；在图2-（2）中，是单调削减的，切线与夹角均为钝角，而钝角的正切值都是负值，此刻，因而断定是单调添加的条件为内。注：判别时，和不影响断定成果。

例2中，“作差法”未能断定的单调性，下面咱们使用导数试断定其单调性。

例3 使用导数判别法断定的单调性。

解 由于的界说域为， 而在上，

所以在其界说域上单调添加。

例4 断定的单调区间

解 的界说域为.求的导数的

.

解方程，得、

这两个根把分红三个部分区间、及.

所以：在上单调添加. 在上单调递减。

结语

本文对函数单调性初等数学阶段的“作差”判别法和高等数学阶段的导数判别法的长处和坏处进行了证明，在教育办法进行了探求和反思，首要意图是为了在教育过程中使学生更好的把握所学内容，做到学以致用的。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上）第三版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]张杰霖.笼统函数单调性的证明技巧 [J].试题与研讨（教育论坛），2011（8）.

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