高中数学函数知识点概括 解析高中数学中的函数极值与最值问题

张徐则一

摘 要：比较剖析了高中数学傍边函数极值问题与最值问题的差异与联络。举例剖析了几种典型的求解办法，包含导数法、三角函数法、不等式法、几许法、复合解法，总结概括其间的解题规则。最终提出相关的解题技巧，指出除了学习把握解题办法外，还需特别留意核算精确、回答完好。

关键词：高中数学 极值问题 最值问题

一、概念解析

求解函数的极值与最值，是高中数学中函数题的必考点。从严厉界说上来说，函数极值与最值是不同的，最值问题的求解立足于整个界说域区间，即在需求求解的界说域中，找到函数值最大或最小的点；而极值问题的求解则是立足于某一点的范畴，如果能找到一点，在该点的两头函数接连且函数值均比该点小（或大），那么这一点就是极值点。从图画上能够直观地看出，极值点必定是函数单调性发作转机的点，在极值点处函数由增变减或由减变增，这实际上也是极值点存在的必要条件。界说上的不同导致了在一些状况下函数并没有极值点，而只需函数在某一区间上有界说，则在此区间上必定能找到最值点。[1]

尽管函数极值与最值有所不同，但两者的求法类似，在一些状况下，极值和最值是持平的，或者说要求出最值，免不了求出极值，因而极值问题和最值问题能够划为一类问题。本文所举例题亦是如此，但在必要的时分会做出阐明。[2]

二、例题解析

1.导数法

依据函数极值的界说，极值点处函数的一阶导数必定为零，因而经过求解使一阶导数为零的点，便可求出极值点。需求留意的是，函数可能有多个极值点，需求完好地逐个求出，而且关于杂乱的函数曲线，极值点纷歧定是最值点。[3]

例：求函数在区间上的最大值和最

小值。

解：题中所给函数为一元三次函数，一般此类函数曲线呈S型，标题要求求解最值而不是极值，因而需求特别留意函数在区间端点上的取值，这将影响极值点是否能够作为最值点。

先对函数求导得，然后求使得导数等于零的点，解方程得，。两个极值点均在标题所要求的区间内，因而需求求出一切极值点和端点的值，归纳判别函数在上的最值。经过核算得到，，，，所以标题所给函数在区间的最大值为，最小值为。

2.巧用三角函数

当函数表达式中带有三角函数时，能够运用三角函数的特别性质进行求解，比方三角函数特别的值域和不同三角函数间的代数联络，这些都能够作为求解的突破口。

例：已知函数，求该函数在上的最大值。

解：这道标题一看便知道能够用与之间的联络进行改换，再将用中心变量替换掉并合作导数法即可求解，其关键在于做换元时留意界说域的正確性。

首要将函数改写为，然后做换元令，由于，所以，函数即可改写为，。接着对改写后的函数求导得，令导数为零求得，结合导数的取值改变，可知函数在中先增后减，所以函数的最大值。

3.运用不等式求解

不等式所给出的是取值的上限或下限，而且能够断定等号建立的条件，但并不能完好的反映函数在界说域内的增减状况，因而一般能够求最值，但不能谨慎地求出极值。在运用不等式求解函数最值时，需求首要结构能够运用不等式定理的方式，然后才干持续求解。

关于上一末节所举三角函数的例题，也能够用不等式办法进行求解，进程如下：

由标题所给界说域，简单知道，将函数两头都取平方得

当且仅当即时，，加之，则此刻亦有。

4.几许法

关于一些特定的函数，能够从表达式中探求出必定的几许含义，比方斜率、长度、面积等，但这一类办法普适性并不好，只针对特别的标题才干排上用场。

例：已知两个变量满意，那么试求函数的最大值。

解：从标题中满意的条件很简单联想到圆的表达式，因而能够从几许含义的视点来求解的最大值。改写表达式得

那么便可当作在圆上的点到两个定点和的间隔之和，由图1可知，图中A点的方位对应取到最大值。

5.复合解法

函数极值与最值问题的解法多种多样，有些问题中需求按过程归纳运用多种解法，这在前文已有所表现，下面是一道更有代表性的比如，其间运用了前文没有提及的判别式法。

例：已知，求的最值。

解：从标题条件能够看出之间的联络具有圆锥曲线的特性，但却不能看出有什么特别性质，因而先将改写为

可设，，则

将其变形可得

要运用判别式法，还需将变量进一步减缩，运用全能公式，改写得

这儿将看作变量，等式必定是有解，因而可做进一步

求解。

其时，可解得，此刻，；

其时，运用判别式法，关于要有解则必有，即，解得，因而，此刻，对应的，。

所以的最小值为-1，最大值为1。

三、技巧解析

1.从标题下手总结规则

极值和最值问题的求解是比较有规则的，这些规则不在于课本上的概念，而在于对题型的总结。在很多操练的基础上，自发地从习题总结其规则性，能够加深对考点的了解，起到事半功倍的作用。

2.多种办法活学活用

关于比如文中所举第五类题型，需求娴熟运用多种解法归纳解题，这就需求不仅对各种解法非常了解，还要对不同解法之间的联络非常了解。这样才干在了解每一种办法运用场合的基础上，依据对标题的了解见机行事。

3.仔细核算巨细统筹

把握了办法不代表就必定能把标题做对，还需求仔细的核算，而且没有遗漏，在考试时千万不能由于找到了解题办法就一时振奋导致求解不完好。

结语

函数的极值与最值问题是高中数学函数题的必考点，一起也是一个规则性较强的考点。作者依据本身的经历，提出了相关的学习技巧，即在平常练习中总结解题规则，深化探求不同办法的归纳运用，而且需求非常留意核算的精确性和完好性。经过本文的解析，期望能给很多学子带来裨益。

参考文献

[1]朱鹏翚.关于接连函数极值求法的剖析[J]. 赤峰学院学报（自然科学版），2017，（05）：8-10.

[2]吴水成，陈国华. 数形结合法求函数最值战略[J]. 教育教育论坛，2014，（47）：260-261.

[3]陈宇.函数极值的求法及其在经济管理中的使用[J]. 教育教育坛，2016，（27）：199-200.endprint