数列前n项和的几种求法 数列前n项和的求法

吴佩信

关于等差（比）数列可使用求和公式直接求和，关于有些数列也能够用归纳法求和。此外，关于非等差（比）数列能够考虑使用以下办法求前项和。

一、分组求和法

当数列的每一项都能分红n个部分的和，而且相应部分所构成的数列是等差（比）数列时，可用此办法求解。

【例题1】已知数列满意，求其前项n和

【回答】

【变式1】已知数列满意，求其前项n和.

【回答】

二、裂项相消法

数列的每一项都是分数，其间分子是常数，分母是若干个“距离”持平的“接连”整数的和，此刻可考虑用此办法。

【例题2】已知数列满意，求其前项n和.

【回答】

【变式2】已知数列满意求其前项n和.

【回答】

三、错位相减法

数列为等差数列，数列为等比数列，当求数列的前项n和时，可使用此法求解。

【例题3】已知数列满意，求其前项n和.

【回答】

两式相减，得

【变式3】已知数列满意，求其前项n和.

【回答】略

四、并项求和法

数列的奇数项和偶数项并在一同构成特别数列时，能够考虑使用此法。

【例题4】数列前项n和满意

【回答】

【变式4】求值：

【回答】略

五、叠加法

关于一些特别的数列（自然数的若干次方构成的数列）使用此办法较简洁。

【例题5】已知数列满意，求其前n项和。

【回答】显然有

令上面式中

得n个式子，然后相加得：

使用此种办法能够求得数列的前n项和。

六、通项公式与其前项n和的联系

【例题6】已知下面各数列的前n项和的公式。

（1）；（2）

求的通项公式.

【回答】（1）当n=1时，；

其时，

即

其时，上式也建立，故通项公式为

（2）当n=1时，；

其时，

即

当n=1时，上式不建立，故通项公式为

七、结构法

当给出了数列的前n项和的递推联系式，能够考虑将结构成一个新数列，使用求通项的办法求出。

【例题7】设数列的前n项和为，且满意求数列前n项和.

【回答】

數列是以2为首项和公比的等比数列，故