高中数学导数公式 浅谈新课标下高中数学导数问题的几大热门
邓解强
摘 要：有关导数在函数中的使用，首要类型有：求曲线的切线、判别函数的单调性、求函数的极值和最值、使用函数的单调性证明不等式等，这些类型是高中数学学习本章的要点，也是“新课标”下高考的要点和热门。导数在函数中的使用，是剖析和处理函数问题的有用东西。
关键词：导数 曲线的切线 单调性 极值和最值
导数使用的重要性和广泛性，咱们从每年高考的《考试阐明》傍边能够充沛体会到。有关导数在函数中的使用，首要类型有：求曲线的切线、判别函数的单调性、求函数的极值和最值、使用函数的单调性证明不等式等，这些类型是高中数学学习的要点之一，也是“新课标”下高考的要点和热门。由于导数其使用的广泛性，为处理函数问题供给了一般性的办法，因而在高考中占有较为重要的位置，其考察要点是使用导数求曲线的切线方程、函数的单调性、函数的极值和最值、不等式的证明等问题方面。本文扼要谈一下导数在这几个方面的使用。
一、使用导数求曲线的切线方程
例1：（2016年全国III高考）已知为偶函数，其时，，则曲线在点处的切线方程是_______________。
解：f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），当x<0时，f（x）=ln（-x）+3x，即有x>0时，时f（x）=lnx-3x，f′（x）=1x-3，可得f（1）=ln1-3=-3，f′（1）=1-3=-2，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程为y-（-3）=-2（x-1），即为2x+y+1=0。
例2：求在点处的切线方程。
解：设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，
又，故，。
即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：
点评：要注意所给的点是否是切点，若是，能够直接使用导数的几许含义求解；不是则需设出切点坐标，再结合导数的几许含义、直线的斜率求解。
二、使用导数研讨函数的单调性问题
例3：（2016年全国II高考节选）评论函数的单调性，并证明其时，。
解：由得
∵ 其时，
∴在上单调递加
∴时，
∴ 。
例4：已知函数在上是减函数，求的取值规模。
解：由题意得， 在上是减函数，在上恒建立，且，即且，。
点评：函数的单调性是函数的重要性质，是高考的热门问题。若使用界说求解，一般较为杂乱，但新教材引进导数今后，则有用地处理了这一问题。使用导数判别函数单调性的法则为：在区间D上，若，则在D上是增函数；若，则在D上是减函数。反之，若在D内可导，且若在D上是增（减）函数，则一定有。
三、使用导数求函数的极值与最值
例5：函数在处有极值10，求的值。
解：
∵
∴f′（x）=3x2+2ax+b
∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10
∴ f′（1）=3+2a+b=0， f（1）=1+a+b+a2=10
解得或，其时
f′（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1），其时
f′（x）<0， 当x>1时， f′（x）>0，满意x=1处为极值点
其时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2
易知在x=1的两边f′（x）>0，
故x=1不是极值点，应舍去。故只要a=4 ，b=-11满意题意。
点评：可导连续函数在处的导数是在处获得极值的必要但不充沛条件，故需验证满意在x=1的两边单调性相反，即导数异号才为极值点。
例6：
求函数在区间上的最大值和最小值。
解：令化简为
解得或。其间舍去
又由且，得知函数的单调递加区间是，同理， 得知函数的单调递加区间是。
所认为函数的极大值。
又由于。
所以，为函数在上的最小值，为函数在上的最大值。
点评：求函数在某闭区间上的最值，首要需求函数在开区间内的极值，然后，将的各个极值与闭区间上的端点的值、比较，才干得出函数在上的
最值。
四、导数的归纳运用
近几年高考数学导数出题根本方向没变，首要用导数研讨函数的性质（单调性、极值、最值等），然后用所得到性质归纳处理函数图画、方程根的散布、不等式等有关问题，这也是教育中的难点，值得注意。
例7：（2015年新课标2理12）设函数是奇函数的导函数，，其时，，则使得建立的的取值规模是（ ）
A. B.
C. D.
解：设g（x）= ，则g（x）的导数为
∵当x>0时，总有xf′（x） 例8：其时，证明不等式 。 证明：设 可求得其界说域为（-1，+ ∞）。由 （时，）可知，f（x）在（-1，+ ∞）上是增函数。又，∴ 即。故对一切都建立。 点评：咱们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递加（或递减）。因而在证明不等式时，依据不等式的特色，有时能够结构函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性到达证明不等式的意图。即把证明不等式转化为证明函數的单调性。 导数的广泛使用，为咱们处理函数问题供给了有力的东西。因而，在日常教育中， 遇到函数问题，要有认识引导学生用导数来处理问题，要杰出导数的东西性。这样，学生在参与高考时，才干做到知己知彼、百战不殆！