高等数学泰勒公式 泰勒公式在高等数学中的应用研究

胡馨月

摘 要：在现代教育研讨范畴的不断拓宽，泰勒公式成了高等数学中的一个重要知识点，且对高等数学的开展有很大的效果。泰勒公式能够将一些杂乱函数近似地转化为简略的多项式函数，能用高次多项式进行精确度要求较高的运算。也是人们剖析和研讨数学问题的一个重要的东西，现在在高等数学中的运用非常广泛。

关键词：泰勒公式 高等数学 运用

泰勒公式是求解高等数学问题的一个重要东西。其在微积分的各个方面都有广泛运用。尤其是在近似核算，差错估量以及判别函数增减性、凹凸性等方面也有很好的运用。泰勒公式是一个用函数在某点的信息描绘其邻近取值的公式。 在函数的图画满足润滑，并且已知函数在某一点的各阶导数值的状况之下，能够用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，并且还能核算出多项式和实践的函数值之间的差错。泰勒公式不只能处理特别类型的有理函数不定积分，并且还能求解出函数的极限。

一、泰勒公式

泰勒公式是依据该函数的特性对其进行求解，咱们能够运用泰勒公式将一些非初等函数转换为多项式函数进行核算，然后在必定程度上省掉了许多换算的过程。这也是在高等数学它能广泛运用的一个要点。泰勒公式：f（x）=f（x0）+f（x0）/1！*（x-x0）+f（x0）/2！*（x-x0）^2+…+f^（n）（x0）/n！（x-x0）^n+o（（x-x0）^n）。咱们把其间的o（（x-x0）^n）称之为拉格朗日型余项。特别应该留意的是在对泰勒公式的运用有一些详细的条件就是有必要确保函数f（x）的n阶可导，然后才干转化和核算。

二、泰勒公式在高等数学中的运用

1.运用泰勒公式求函数极限

高等数学中求解未定式极限是极限运算中的典型问题，用等价无量小量替换求极限是一种有用的办法。运用泰勒公式法需求留意的一个问题是将函数打开至化简后n+1阶导存在即可。运用泰勒打开式的余项能够近似的表明近似这个函数后所发生的差错，使差错不超越预期。有时在想要证明不等式中含有一阶以上的导数时，一般在于依据题设的条件来挑选要打开的函数、在哪一点的邻域将函数打开、打开的阶次及余项的方式。

举个比如，怎么运用泰勒公式求未定式的极限。未定式一般是用洛比达规律求解，在分子分母的阶数都是无量小时有必要进行屡次洛比达规律，越微分会越杂乱，此刻若运用泰勒公式会更简略。有些求无量型极限能够用洛比达规律求解，不过此刻运用泰勒公式能够将问题大大简化。运用泰勒公式求极限是一种运用等价无量小的代替来核算极限的办法，其实质是将函数用泰勒公式打开，再运用了泰勒公式的分式效果化简再运用无量小阶的估量，然后得到极限。

2.判别级数的敛散性

当级数的通项表达式是一种比较烦难方式时，往往运用泰勒公式将级数通项简化或共同方式。此刻一般需求考虑两个问题。

一是数项级数的敛散性判别，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的杂乱方式时，怎么要运用泰勒公式将级数通项简化？此刻咱们需求直接依据通项去判别级数无法恰当挑选判敛办法。运用放缩等技巧是比较判别法常用的技巧。

二是怎么判别函数项级数的敛散性？咱们一般常用的是魏尔斯特拉斯判别法，经过与正项常数项级数进行比较来判别是否共同收敛。在此过程中，咱们能够运用泰勒公式对函数进行打开，然后与正项常数项级数进行比较，然后进行进一步的判别。

3.证明不等式

泰勒公式不只在理论上占有重要的位置，也数学剖析中是一个非常重要的内容，微分学理论中运用泰勒公式建立了函数的增量和自变量增量与一阶及高阶导数之间的联系，能把一些杂乱的函数近似地表明为较为简略的多项式函数，由此泰勒公式成为了把杂乱变简略的有力东西。所以咱们能够运用泰勒公式来断定无量小的阶，极限，以及不等式与等式的证明等。在高等数学中，证明不等式的办法许多。有时在欲证不等式中含有一阶以上的导数时，一般在于依据题设的条件来挑选要打开的函数、在那一点的邻域将函数打开、打开的阶次及余项的方式。在证明已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式先直接写出的泰勒打开式，然后在具有二阶或二阶以上接连导数的前提下，一般先作輔助函数进行泰勒打开，然后对泰勒余项作恰当处理。举个比如，在运用泰勒公式证明代数不等式时，咱们将不等式化简，咱们要结构函数，运用泰勒公式将不等式转化成不等式组，再运用泰勒公式打开求解。

4.证明中值公式

若欲证的定论是至少存在一点代数式，则能够考虑运用辅佐函数法，辅佐函数由定理的定论即得出题的证明。即经过恒等变形将定论化为以消除导数符号的方式，用积分法求出原函数，经过移项使等式一边为零，则另一边将定论中的c换成x就能够直接将被积函数设为辅佐函数，即能够解出此题。

总归，泰勒公式不只在理论上占有重要的位置，并且在函数敛散性的判别、近似核算、极限核算、等式与不等式的证明、等方面有重要 的运用。在解题练习中要把握处理准则，就能较好的把握运用泰勒公式解题的技巧。

参考文献

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