浅谈数形结合思想方法 浅谈中学数学中数形结合的妙用
赵静涵
摘 要：中学数学中有许大都形结合的比如，如点与实数对、函数与图画、曲线与方程等。在解题中运用数形结合的思想办法，可将笼统的教育言语与直观的图画有机结合起来，开展形象思想和笼统思想并使之转化，然后到达优化数学思想质量（思想的独创性、灵活性、准确性、宽广性）以及培育咱们立异知道和立异精力的意图。
关键词：数形结合 数学思想 立异
数学是研讨事物的空间方式和数量联络的科学，“数”与“形”尽管研讨的方针和运用的办法不尽相同，但它们之间却有着内涵的联络。就在平面直角坐标系中而言，便有点与实数对，函数与图画，曲线与方程的有机结合，因而数形结合是数学的本质特征，世界间万事万物元不是“数”与“形”的调和一致。所以数学教育中杰出数形结合的思想办法是充沛掌握了数学的精华和魂灵。
所谓数形结合的思想办法，其实质就是将笼统的数学言语与直观的图形结合起来，开展形象思想和笼统思想并使之彼此转化。经过对图画的处理，发挥直观对笼统的支柱效果，完成笼统概念与详细表象的联络和转化，化难为易，化笼统为直观，经过数了解形，加深对形的知道与考虑，更有助于解形。
笔者在做作业中曾碰到这样一些题：
例1.解不等式︱3x-2︱+︱3x+1︱<6（x∈R）
解法一：分类评论，当x≤时，原不等式可化为2-3x-3x-1<6， x>， ∴ 当 ∴ 当x>时，原不等式可化为3x-2+3x+1<6， x<， ∴ 解法二：令z=3x，可使问题转化为研讨椭圆︱Z-2︱+︱Z-1︱=6内长轴上点的改变规模，因椭圆长轴极点横坐标为和，所以<3x<，即 很明显，在平常的解题中运用数形结合的思想办法有用的培育了咱们的立异知道，使得解题思路简练明了。 例2.求值：cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293° 解法：调查角的改变，前后相差72°，正好是正五边形的一个外角，因而作一个边长为1的正五边形A1A2A3A4A5（如图1），且A1A2与x轴的夹角为5°，则A1A2=（cos5°，sin5°），A2A3=（cos77°，sin77°），A3A4=（cos149°，sin149°），A4A5=（cos221°，sin221°），由A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A1=0，知cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°=0. 该解法奇妙的使用了向量作出几许图形，表现了数形结合的创造性和调和美。 下面就数形思想能优化咱们数学思想质量，培育咱们立异知道和立异精力，浅显的谈一下自己的观点。 一、數形结合，能优化数学思想质量。 进步数学思想才干，优化数学思想质量是数学教育方针之一。数 形结合思想能引导咱们创设新的情形，开辟新的思路，直现易懂，方 法简捷、诱人沉思。 1.由数思形，培育数学思想的独创性 例1，某轮船公司每天正午各有一对轮船在纽约和哈係之间相对开 出，途中所化的时刻往来不断都是七昼夜，问今日正午从哈佛开出的船在途中会遇到几艘船迎面而来？ 剖析：这是在十九世纪的一次世界 数学会议上，法国數学家柳卡向在场的 数学家们提出的一个他称为“最困难”的问题， 其时竟难住了在场的数学家们，答案无所适从。过后，才有人试验性地 画了 一个简略到连小学生也能了解的图 形，才宣告问題的处理。”最困难”问 題的处理竟如此简练，正是开掘了问題 所潜藏的形”的要素，充沛发挥了图 形的“形象”的效果。 例2，已知已知a2+b2=1，c2+d2=1，a，b，c，d都是正数，求证：ac+bd≤1。 剖析：要求证的是一个代数式不等式，经过调查很简单联想到几许中托勒密定理：圆内接凸四边形对边乘积之和等于两对角线的乘积。所以结构一个直径为1的圆，然后使出题直观化。 证明：作直径为1的圆，其间AC是直径，B，D是圆上两点，使AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，如图，明显a，b，c，d满意题设条件。 由圆内接四边形的托勒密定理有AB· CD+BC · AD = AC · BD≤ ACa （BD≤ AC） 即ac+bd≤1树立。 2.由形化数，培育数学思想的灵活性。 例3.如图已知三个并排的单位正方形 求证：θ1+θ2+θ3=90° 剖析：树立如图高斯复平面，则Z1，Z2，Z3幅角别离是θ1，θ2，θ3，而θ1+θ2+θ3却是三个复数Z1，Z2，Z3乘积的幅角，所以欲证幅角为90°，只须证Z1，Z2，Z3是一个纯虚数即可。 证明：如图3树立高斯复平面，则向量Z1，Z2，Z3幅角别离是θ1，θ2，θ3，而Z1=1+i，Z2=2+i，Z3=3+i，∴Z1·Z2·Z3=（1+i）（2+i）（3+i）=10i ∴Z1·Z2·Z3的幅角θ1+θ2+θ3=90° 例4已知ABCD为正方形，以AB为底向形内作底角为15°的等腰三角形EAB， 求证：△CDE为正三角形。 剖析：考虑到题中有丰厚的边角联络，无妨运用三角函数来研讨。 证明：设正方形的边长为a，则△EAB中运用正弦定理， = 得AE= =2asin15°，在△DAE中，运用余弦定理 DE2=AD2+AE2-2ADAEcos∠DAE =a2+（2asin15°）-2·a2·sin15°·cos75° =a2+4a2（sin15°）2-4a2（sin15°）2=a2
∴DE=a 同理可得CE=a
∴CD = DE=CE
即△CDE为正三角形
3.数形对照，培育数学思想的准确性
例5.已知︱Z-3-4i︱≤6，求︱Z︱的最小值。
剖析：在回答此题时咱们简单受思想定势负搬迁的效果，容易信任解法：︱Z︱min=6-︱3+4i︱=1，这是脑中无“形”的表现，只需正确的画出如图5，才干找到正确答案︱Z︱min =0
例6，求经过圆C1：x2+y2=9和圆C2：x2+y2-14x+33=0的交点且经过P（2，1）的圆的方程。
剖析：咱们在解此题时往往很天然的运用圆系方程，设所求方程为x2+y2-9+λ（ x2+y2-14x+33）=0，再将点P的坐标代入后求出λ=2/5，然后再把λ=2/5代回方程得7X2 + 7y2-28x + 21 = 0，此時 咱们便以为功德圆满了。实际上这个定论不完整的，只需图形（如图6）一画出，就得知本来的这两个 圆相外切，它们仅有一个公共 点，故给定条件实质上是两个 已知点P、Q，所求解应为圆心 在P、Q两点的连线的垂直平分线上的圆系方程，如图PQ的垂直平分线方程为x-y-2 = 0，故所求圆 的方程的圆心可设为（a， a-2），本题的解为x2+y2-2ax+2（a-2）y+6a-9=0，由此可见，研讨“数”问题，运用“形”就不易犯错。
4.数形滲透，培育数学思想的宽广性。
例7.如图7，设点A对应复数2，点 B为丨Z|=l上的动点，△ABC是以BC为斜 边的等腰直角三角形，且A、B、C是按 顺时针次第摆放的。求C点的轨道方程。
解法一：设ZB=x1+y1i，ZC=x+yi，因为绕点A按逆时针方向旋转90°得，所以x1+y1-2=（x+yi-2）i，然后x1=2-y，y1=x-2，将其代入x12+y12=1得点C的轨道方程为（x-2）2+（y-2）2=1.
解二：设ZB=cosθ+isinθ，则x=2+sinθ，且y=2-cosθ，消去参数得：（x-2）2+（y-2）2=1.
解三：绕点A按逆时针方向旋转得。
∴ZB-2=（ZC-2）i，∵丨ZB |=l，∴|（ZC-2）i+2|=1，即|Z-（2+2i）|=1.
解四：由ZC= -ZBi+2+2i，用全等变换办法可得点C的轨道为（2，2）为圆心，1为半径的圆，∴（x-2）2+（y-2）2=1.
二、 数形结合，培育咱们的立异知道和立异精力。
数形结合思想能引导咱们打破惯例，另辟途径，打破已有的思想 定势。一起也只需不故步自封，勇于突破惯例解法、惯例思路的捆绑，才干脱节思想的呆扳性，才干有所立异。
例8，已知x，y，z均大于零，a=， b=
c=，求适：a + b>c，b+c>a，c + a>b
此题用惯例的思想办法，咱们或许久思不得其解，陷入了“山重水复疑无路”之境，假如咱们不要坚守惯例解题形式，经过剖析a2 = x2 + y2 - 2xycos120°，ba = y2+z2— 2yzCosl20 °，c2 = x2 +z2-2xzCosl20°
运用余弦定理，结构出如图三角形，让咱们似乎进入了“山穷水尽又一村”的六合，这无疑培育了咱们的立异知道和立异精力.
三、数形结合，锻炼“双基”，启迪思想。
“双基”是各类数学考试要点，一起又是构成才干的根底，在温习中 留意有关的数形结合的使用，就能锻炼“双基”，启迪思想。
1.数形结合在挑选题中的使用。
例9：方裎sinX=lgX的实教根个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.无量多
剖析：由对数函数的定义域知x>0， 又丨sinX 丨≤1，故lgX≤1，即X≤10，所以只需在（0， 10]上画出Y2=LgX，Y2=sinX的图象（图9），可知方程有3个解，应选（C） .
例10：0.32，20.3，log20.3三个数的巨细次序是（ ）
A. 0.32<20.3 C. log20.3<0.32<20.3 D. log20.3<20.3<0.32 剖析：题中的三个数可别离视为三个函数Y1 =X2， Y2=2x，Y3 = log2X，当自变量取值 为x = 0. 3时的函数值，可在同一坐标系中画出 三个函数的图画和直线x = 0.3，从图10可知答案为（C） 2.数形结合在解填空题中的使用. 例11：已知X+Y+1=0，则的最小值是_。 剖析：假如将看成是两点间的矩离，那么咱们脑筋里结构一个几许模型。点（1，1）到直线x+y+l=0的间隔即为满意题设的最小值，。 四、加强数形结合练习，掌握数学思想精华 加强数形结合练习，能够稳固和加深有关数学概念的了解，打好数学根底，优化数学思想质量，培育咱们的立异知道和立异才干，进步剖析、处理问题才干。而在练习中还应留意以下几点： 1.以数探形，发掘条件 数学问题的表述往往是笼统的，让解题者困惑，应留意把题中条件，数学言语用图形表明，并长于发现、发掘隐含的条件，到达山穷水尽的成效。 2. 数形比较，紧密解题 有些代数问题，若用纯代数办法解题时，因为变形时不等价或考虑不周，易解错或漏解。若能将数转化为形，就能化繁为简、化难为易，解法新颖别致，回味无量。特别对学生培育发散性思想和创造性思想有很协助 3.数形统筹，准确解题 数是形的根据，形是数（式）的表现，两者不可偏废，要统筹，才 能准确解题。否则会因草图的粗糙草率，画错图而解错题， 总归，只需把数量联络的准确刻划与几许图形的直观形象有机地 结合起来，才干充沛露出问題的条件与定论之间的内涵联络。经过‘ 数”与形”之间的敌对.转化，来优化处理问题的办法，掌握数学 精华。 最终引证闻名数学家华罗庚的话“数与形，本是相倚依，焉能分作两头飞。数缺形时少直觉，形少量时难入微，数形结合各样好，隔裂分居万事休，切莫忘，几许代数一致体，永久联络，切莫别离”。 参考文献 [1]张嘉瑾，《串讲，激活》，大连出版社，2015. [2]张曙，《数形结合原则在复数教育中的使用》，《数学教育》 2005年第6期。 [3]张奠宙、唐瑞芬、刘鸿坤，《数学教育学》，江西教育出钣社2011。 [4]洪明聪，《形象思想与数学教育》、《中学数学教研》2008年第 11期。 [5]林崇德，《学习与开展》，北京师范大学出钣社，2014年。