空间向量与立体几何知识点 《空间向量与立体几何》中的几个问题讨论

魏西宁

摘 要：进步学生的运算才能绝非一朝一夕之功，需要将这个方针化解在平常的教育过程中，本文就以《空间向量与立体几许》的教育为例，对如何将“进步学生的运算才能”落真实平常的教育中进行讨论。

关键词：空间向量 方向向量 法向量

在《空间向量与立体几许》中，空间向量的引进为立体几许问题的处理供给了新的视角。具体来说空间向量的引进为处理三维空间中图形的方位联系与衡量问题供给了一个非常有用的东西。在这一部分中，首要，学生将在学习平面向量的根底上，把平面向量及其运算推行到空间中，其次，学生将学习运用空间向量处理空间点、线、面的方位联系。

学生学习《空间向量与立体几许》要到达的方针：学会使用空间向量处理立体几许中的问题，将几许问题代数化。

要使用空间向量处理立体几许的相关问题，首要要树立空间向量与空间图形的对应联系；其次，要能用向量言语表述线、面的平行、笔直联系，夹角运用向量核算的办法；最终，还要找到点、线、面之间间隔运用向量核算的办法。

在《空间向量的使用》教育中应留意以下问题：

一、直线的方向向量与平面的法向量的界说及断定

这一部分是空间向量使用最根底也是最底子的常识，要具体解说。

1.直线的方向向量的界说：

是空间一直线，A，B是上恣意两点，则称为的方向向量。

解读：与平行的恣意非零向量也是直线的方向向量；对错零向量，有很多多个，互相平行，且与直线平行。

2.平面的法向量的界说：

若直线笔直于平面α，则把的方向向量叫作α的法向量。

解读：平面的法向量对错零向量，有很多多个，互相平行，且笔直于该平面。

3.直线的方向向量与平面的法向量的断定

直线方向向量的断定：由界说知在直线就任取两个点构造出一个非零向量，就是直线的方向向量；或已知与直线平行的向量，可作为直线的方向向量。

平面法向量的断定办法：

法一：依界说有：若已知是α的垂线，则l的方向向量是α的法向量。

法二：在α就任取不共线的三个点，构造出两个不共线的向量和，设α的法向量为，则笔直于和，即有，用坐标表明则得到关于x，y，z的三元一次方程组，该方程组有很多组解，只需取出一组解（给x赋值可解得对应的y，z；同理给y或z赋值可解得其他两个量），就得到α的一个法向量。

法二的根据是：和是平面α上两个不共线向量，由平面向量根本定理知：平面α就任一向量，可用和表明：

笔直于和，即，

，

笔直于，即笔直于平面α上恣意向量，是平面的一个法向量。

二、经过向量断定线、面之间的平行与笔直

学生已会求直线的方向向量平和面的法向量，这一部分的使命就变成将线、面的平行与笔直和相关向量之间的联系进行概括，可引导学生完结，得出结论：

已知直线的方向向量别离为，平面α，β的法向量别离为，

三、使用向量来核算夹角

1.空间向量夹角公式及其坐标表明：，

则

2.线、面夹角的界说以及线、面夹角与向量夹角的联系i）直线的夹角

界说当两直线共面时，把交角中在的角叫作的夹角；当是异面直线时，在就任取一点A作，把与AB的夹角叫做的夹角，其规模为.

综上，夹角，设的方向向量别离为，则有：

若，则；

若；则；

∴.

3.平面的夹角

界说：平面α，β相交于直线，点A为上恣意一点，过A在上别离作，，把的夹角叫作平面α，β的夹角。

可知平面的夹角转换为共面两直线的夹角，所以.

设∠BAC是α，β的夹角θ，

即∠BAC是的夹角，.

如图，C作α的垂线，过B作β的垂线，.

则∠BAC+∠BDC=π，且的方向向量是α的法向量，记为；的方向向量是β的法向量，記为；

；；

∴平面α，β的夹角或，

.

4.直线与平面的夹角

界说：平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.可知将直线与平面的夹角转化为两直线的夹角，则规模是.

已知直线ι与平面α相交于点B，在ι就任取一点A，过A作的α垂线交α于点C。

设的方向向量为，∠ABC是与α的夹角θ，即θ=∠ABC，.又AC是α的一条垂线，则AC的方向向量是α的法向量。

∴，又；

∴或；

∴或；.

四、使用向量核算间隔

1.在上的投影的巨细为：；

2.求平行线间的间隔转化为求点到直线的间隔；求与平面平行的直线到该平面的间隔转化为求点到平面的间隔；求两平行平面间的间隔转化为求点到面的间隔。

以上是自己对《空间向量与立体几许》教育上的一点知道。